我与她的恋情

前言说明:首次使用LaTeX,此文写得满满的兴奋,除少数引用外的所有内容,全凭个人人工输入完成。多图预警,建议WiFi下查看。

天赋与伟大之间,隔着8446个昼夜

为什么这么说呢?

参考引用1:我与她的恋情——小海cosea
参考引用2:数学家的故事——小海cosea

$$一个伟大的数学家大概需要奋斗e^{\pi}年$$
$$e^{i\pi} + 1 = 0$$
$$e^{\pi}=23.140692632779269005729086367949$$
$$365\times e^{\pi} = 8446.3528109644331870911165243012$$
$$天赋-伟大=365\times e^{\left( i+1 \right)\pi}个昼夜$$

以上,最新感悟。

注:此文始发于知乎,此博客节录部分内容。原文(全文)阅读地址:我与她的恋情

下面来聊一些数学问题,跟随本文,发现数学之美。主分支文章:数学家的故事

美?

什么是数学美?

来看一下这张图

reference:Golden ratio

是不是特别美?

$$黄金分割点:\frac{\sqrt{5} -1}{2} =0.61803398874989484820458683436564$$

高斯——正十七边形——美不美?

reference:Heptadecagon

注:接下来说说公式编辑器的问题,从小到大数学公式推导都是手写,还从未尝试过在电脑上编辑排版数学公式,这也是第一次使用,终于,可以脱离纸张,编辑一篇有数学公式和数学图形的数学文章了,原谅我还有点小激动啦。

数学公式编辑:LaTeX

(LaTeX,音译“拉泰赫”)是一种基于ΤΕΧ的排版系统,由美国计算机学家莱斯利·兰伯特(Leslie Lamport)在20世纪80年代初期开发,利用这种格式,即使使用者没有排版和程序设计的知识也可以充分发挥由TeX所提供的强大功能,能在几天,甚至几小时内生成很多具有书籍质量的印刷品。对于生成复杂表格和数学公式,这一点表现得尤为突出。因此它非常适用于生成高印刷质量的科技和数学类文档。这个系统同样适用于生成从简单的信件到完整书籍的所有其它种类的文档。

reference: LaTeX

刚接触LaTeX?推荐使用CTeX套装。

主页为:Welcome to Chinese TeX:CTEX

下载页为:下载中心:CTEX

注:WinEdt软件是一个Windows平台下的强大的通用文本编辑器,其更倾向于LaTeX/TeX文档的编辑。

官网地址:WinEdt 下载地址:Downloads and Links 教程:WinEdt教程

下面我想谈一些与数学相关的东西,从这里开始,开启数学的大门,让我们一起进入奇妙的数学世界······跟随本文,发现数学之美······

蝴蝶曲线

polar equation:

$$r =e^{cos\theta } -2cos4\theta +\frac{sin^{5}\theta }{12} r=e^{\sin \theta }-2\cos4\theta +\sin ^{5}\left({\frac {2\theta -\pi }{24}}\right)$$

parametric equations:

$$x=\sin t \left(e^{\cos t }-2\cos 4t -\sin ^{5}\left({t \over 12}\right)\right)y=\cos t \left(e^{\cos t}-2\cos 4t -\sin ^{5}\left({t \over 12}\right)\right)$$

reference:Butterfly curve (transcendental) )

心形线

水平方向

$$r =a(1-cos\theta ) $$

$$x^2+y^2+ax=a \sqrt{ x^2+y^2 }$$

水平反方向

$$r =a(1+cos\theta )$$

$$x^2+y^2-ax=a \sqrt{ x^2+y^2 }$$

垂直方向

$$r =a(1-sin\theta )$$

$$r =a(1+sin\theta )$$

参数式

$$x=a(2cost-cos2t)$$

$$y=a(2sint-sin2t)$$


reference:Cardioid

笛卡尔叶形线

$$x^3+y^3=3axy$$

$$x=\frac{3at}{1+t^3}$$

$$y=\frac{3at^2}{1+t^3}$$

reference:Folium of Descartes

斐波那契螺线

$$F_{0} =0$$

$$F_{1} =1$$

$$F_{n} =F_{n-1}+F_{n-2}$$

reference:Fibonacci number 发现什么了吗?······

Golden spiral

Spiral

对数螺线

$$r=e^{\alpha \theta } $$

In parametric form, the curve is:

$$x(t) = r(t) \cos t = e^{\alpha \theta } \cos t\,y(t) = r(t) \sin t = e^{\alpha \theta } \sin t\,$$

reference:Logarithmic spiral

Spiral

阿基米德螺线

$$r=a\theta $$

or , it can be described by the equation:

$$r=a+b\theta$$

reference: Archimedean spiral

Spiral

The involute of a circle (black) is not identical to the Archimedean spiral (red).

reference: Spiral

双曲螺线

$$r\theta =a$$

reference:Hyperbolic spiral

Spiral

费马螺线

$$r^{2} =a^{2} \theta $$

reference:Fermat’s spiral

Spiral

Euler spiral


reference:Euler spiral

Spiral

lituus


reference:Lituus (mathematics))

Spiral

spiral of Theodorus

$$\Delta r={\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}}$$

reference:Spiral of Theodorus

Theodorus of Cyrene

Spiral

伯努利双纽线

$$(x^2+y^2)^2=a^2(x^2-y^2)$$

$$r^2=a^2cos2\theta $$

As a parametric equation:

$$x={\frac {a\cos t}{\sin ^{2}t+1}}; y={\frac{ a \cos t\sin t}{\sin ^{2} t+1}}$$

$$(x^2+y^2)^2=2a^2xy$$

$$r^2=a^2sin2\theta $$

reference: Lemniscate of Bernoulli

reference related articles:

Lemniscate

Lemniscatic elliptic function

Lemniscate of Gerono

Hippopede

A quartic plane curve

A quartic plane curve is a plane algebraic curve of the fourth degree. It can be defined by a bivariate quartic equation:

$$Ax^4+By^4+Cx^3y+Dx^2y^2+Exy^3+Fx^3+Gy^3+Hx^2y+Ixy^2+Jx^2+Ky^2+Lxy+Mx+Ny+P=0$$

reference: Quartic plane curve

Ampersand curve


reference: Quartic plane curve

Bicuspid curve

The biscuspid is a quartic plane curve with the equation:

$$(x^{2}-a^{2})(x-a)^{2}+(y^{2}-a^{2})^{2}=0$$

reference:Quartic plane curve

三叶玫瑰线

$$r=a cos3\theta $$

The three-leaved clover is the quartic plane curve.

$$x^4+2x^2y^2+y^4-x^3+3xy^2=0 $$

$$r=a sin3\theta $$

reference:Quartic plane curve

四叶玫瑰线

quadrifolium,also known as four-leaved clover.

polar equation:

$$r=a sin2\theta $$

with corresponding algebraic equation:

$$(x^2+y^2)^3 = 4x^2y^2 $$

polar equation:

$$r=a cos2\theta $$

with corresponding algebraic equation:

$$(x^2+y^2)^3 = (x^2-y^2)^2$$

reference:Quadrifolium

rose curve

these curves can all be expressed by a polar equation of the form:

$$r=\cos(k\theta ) and r=\sin(k\theta ) $$

reference related articles:Rose (mathematics))

Maurer rose

Let $r = sin(n\theta )$ be a rose in the polar coordinate system, where n is a positive integer. The rose has n petals if n is odd, and 2n petals if n is even.

We then take 361 points on the rose:

$$(sin(nk), k) (k = 0, d, 2d, 3d, …, 360d),$$

where d is a positive integer and the angles are in degrees, not radians.

A Maurer rose of the rose $r = sin(n\theta )$ consists of the 360 lines successively connecting the above 361 points. Thus a Maurer rose is a polygonal curve with vertices on a rose.

Explanation:A Maurer rose can be described as a closed route in the polar plane. A walker starts a journey from the origin, (0, 0), and walks along a line to the point $(sin(nd), d)$. Then, in the second leg of the journey, the walker walks along a line to the next point, $(sin(n·2d), 2d)$, and so on. Finally, in the final leg of the journey, the walker walks along a line, from $(sin(n·359d), 359d)$ to the ending point, $(sin(n·360d), 360d)$. The whole route is the Maurer rose of the rose $r = sin(n\theta )$. A Maurer rose is a closed curve since the starting point, (0, 0) and the ending point, $(sin(n·360d), 360d)$, coincide.

The following figure shows the evolution of a Maurer rose (n = 2, d = 29° ).

The following are some Maurer roses drawn with some values for n and d:




reference: Maurer rose)

reference related articles:

Rose (mathematics)

Dual curve

Quatrefoil

反雪花曲线

$$A_{n} =A_{n-1} -\frac{\left(\frac{4}{3} \right) ^{n-1} }{3^n} $$

雪花曲线——Koch snowflake

The Koch snowflake (also known as the Koch curve, Koch star, or Koch island).

After each iteration, the number of sides of the Koch snowflake increases by a factor of 4, so the number of sides after n iterations is given by:

$$N_{n}=N_{n-1}\cdot 4=3\cdot 4^{n}$$

If the original equilateral triangle has sides of length s , the length of each side of the snowflake after n iterations is:

$$S_{n}={\frac {S_{n-1}}{3}}={\frac {s}{3^{n}}}$$

the perimeter of the snowflake after n iterations is:

$$P_{n}=N_{n}\cdot S_{n}=3\cdot s\cdot {\left({\frac {4}{3}}\right)}^{n}$$

reference: Koch snowflake

Variants of the Koch curve , for example:

Quadratic type 2 curve


1D, 90° angle

The first 2 iterations. Its fractal dimension equals 3/2 and is exactly half-way between dimension 1 and 2. It is therefore often chosen when studying the physical properties of non-integer fractal objects.

椭球面

$$\frac{x^{2}}{a^2}+\frac{y^{2}}{b^2}+\frac{z^{2}}{c^2} =1$$

reference:Ellipsoid

单叶双曲面——Hyperboloid of one sheet

$$\frac{x^{2}}{a^2}+\frac{y^{2}}{b^2}-\frac{z^{2}}{c^2} =1$$

双叶双曲面——Hyperboloid of two sheets

$$\frac{x^{2}}{a^2}+\frac{y^{2}}{b^2}-\frac{z^{2}}{c^2} =-1$$

reference: Hyperboloid

Paraboloid of revolution

$$z={\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}$$

当a=b时,变为

$$kz=x^{2}+y^{2}$$

reference: Paraboloid

双曲抛物面,又称马鞍面——Hyperbolic paraboloid

$$-\frac{x^{2}}{2a}+\frac{y^{2}}{2b} =z( ab>0) $$

reference: Paraboloid

你见过这样的树吗?

毕达哥拉斯树是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的树形图形,也叫“勾股树”。
reference:Pythagoras tree (fractal))

当然,作为爱因斯坦粉,质能方程还是要写的,至于这个公式的强大之处嘛,你懂的······

$$E=m{c^{2} } $$

这个公式,你说它美不美?······1905年,爱因斯坦在狭义相对论中提到这个方程,十年后,爱因斯坦完成广义相对论······

图:广义相对论中的时空弯曲

reference:Mass–energy equivalence

可能很多人听说过薛定谔的猫,这次,让我们来看看薛定谔方程······

说明:此段内容我的原则是尽可能遵从英文原文,即使翻译都和原文一同写出。此文全文的原则是,没必要逐句翻译的内容尽可能简要——只大致翻译重要内容。若有翻译不到位之处,请指正。

In quantum mechanics, the Schrödinger equation is a partial differential equation that describes how the quantum state of a quantum system changes with time.

在量子力学中,薛定谔方程是一个二阶偏微分方程,它可以用来描述随时间变化的量子系统的状态。

The concept of a wavefunction is a fundamental postulate of quantum mechanics.

波函数的概念是量子力学的一个基本假设。

薛定谔方程是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程,可描述微观粒子的运动状态,薛定谔方程的形式取决于具体物理情境(The form of the Schrödinger equation depends on the physical situation),每个微观系统都有一个对应的薛定谔方程式,通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量,从而了解微观系统的性质。薛定谔方程表明,在量子力学中,粒子以概率的方式出现,具有不确定性,其在宏观尺度下失效,可忽略不计。

在量子力学中,体系的状态不能用力学量(例如x)的值来确定,这要用力学量的函数$\Psi (\mathbf {r} ,t)$,即波函数(又称概率幅,态函数)来确定,因此波函数成为量子力学研究的主要对象。力学量取值的概率分布如何,这个分布随时间如何变化,这些问题都可以通过求解波函数的薛定谔方程得到解答。薛定谔于1926年提出薛定谔方程,它是一个非相对论的波动方程,是量子力学最基本的方程之一,在量子力学中的地位与牛顿方程在经典力学中的地位相当,而超弦理论则试图统一这两种理论。

设描述微观粒子状态的波函数为$\Psi (\mathbf {r} ,t)$,微观粒子在势场$V (\mathbf {r} ,t)$中运动,满足含时薛定谔方程$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)={\hat {H}}\Psi (\mathbf {r} ,t)$,在给定初始条件和边界条件以及波函数所满足的单值、有限、连续的条件下,可解出波函数$\Psi (\mathbf {r} ,t)$。由此可计算粒子的分布概率和任何可能实验的平均值(期望值)。当势函数$V$不依赖于时间$t$ 时,粒子具有确定的能量,粒子的状态称为定态。定态时的波函数可写成$\Psi (\mathbf {r})$,即定态波函数,其对应有定态薛定谔方程${\displaystyle \operatorname {\hat {H}} \Psi =E\Psi }$,这一方程在数学上称为本征方程,式中$E$为本征值,它是定态能量,$\Psi (\mathbf r)$又称为属于本征值E的本征函数。

薛定谔方程仅适用于速度不太大的非相对论粒子,其中也没有包含关于粒子自旋的描述。当涉及相对论效应时,薛定谔方程由相对论量子力学方程所取代,其中自然包含了粒子的自旋。

含时薛定谔方程(通用)

Time-dependent Schrödinger equation (general)

The form of the Schrödinger equation depends on the physical situation (see below for special cases). The most general form is the time-dependent Schrödinger equation, which gives a description of a system evolving with time.

薛定谔方程的形式取决于物理情境(见下文)。最通用的形式是含时薛定谔方程,其描述了随时间演变的系统。

$$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)={\hat {H}}\Psi (\mathbf {r} ,t)$$

$\hat{H}$ is the Hamiltonian operator (which characterizes the total energy of any given wave function and takes different forms depending on the situation).

量子力学中,哈密顿算符(Hamiltonian) $\hat{H}$ 为一个可观测量(observable),对应于系统的总能量。一如其它所有算符,哈密顿算符的谱为测量系统总能时所有可能结果的集合。如同其它自伴算符(self-adjoint operator),哈密顿算符的谱可以透过谱测度(spectral measure)被分解,成为纯点(pure point)、绝对连续(absolutely continuous)、奇点(singular)三种部分。
reference:Hamiltonian (quantum mechanics) )

含时薛定谔方程(单一的非相对论粒子)

Time-dependent Schrödinger equation (single non-relativistic particle)

The most famous example is the non-relativistic Schrödinger equation for a single particle moving in an electric field (but not a magnetic field; see the Pauli equation)——Pauli equation

最著名的例子是单一粒子在电场中运动的非相对论薛定谔方程(非磁场,请查看泡利方程)——Pauli equation

$$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)=\left[{\frac {-\hbar ^{2}}{2\mu }}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} ,t)\right]\Psi (\mathbf {r} ,t)$$

The term “Schrödinger equation” can refer to both the general equation (first box above), or the specific nonrelativistic version (second box above and variations thereof). The general equation is indeed quite general, used throughout quantum mechanics, for everything from the Dirac equation to quantum field theory, by plugging in various complicated expressions for the Hamiltonian. The specific nonrelativistic version is a simplified approximation to reality, which is quite accurate in many situations, but very inaccurate in others (see relativistic quantum mechanics and relativistic quantum field theory).

薛定谔方程既可以指通用的$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)={\hat {H}}\Psi (\mathbf {r} ,t)$公式形式,或者可以指特殊非相对论$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)=\left[{\frac {-\hbar ^{2}}{2\mu }}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} ,t)\right]\Psi (\mathbf {r} ,t)$版本(其变化后的形式)。

特定的非相对论形式是薛定谔方程的一个简化近似版,在大多情形下这是很精确的,但在其它情形下可能不是非常精确。

The time-dependent Schrödinger equation described above predicts that wave functions can form standing waves, called stationary states (also called “orbitals”, as in atomic orbitals or molecular orbitals). These states are important in their own right, and if the stationary states are classified and understood, then it becomes easier to solve the time-dependent Schrödinger equation for any state. Stationary states can also be described by a simpler form of the Schrödinger equation, the time-independent Schrödinger equation. (This is only used when the Hamiltonian itself is not dependent on time explicitly. However, even in this case the total wave function still has a time dependency.)

静止状态可以用简化的薛定谔方程来表示,也就是不依赖时间的薛定谔方程。定态薛定谔方程:当势函数$V (\mathbf {r} ,t)$不依赖于时间t时,粒子具有确定的能量,粒子的状态称为定态,简单说,定态就是假设波函数不随时间变化。不含时间变量的波函数就是定态波函数,定态下的波函数记为$\Psi (\mathbf {r})$。定态薛定谔方程就是不随时间变化,或者说不含时间变量的特定简化版薛定谔方程,此时,波函数$\Psi (\mathbf {r} ,t)$和势函数$V (\mathbf {r} ,t)$都与时间t无关。定态薛定谔方程只在$\hat{H}$不依赖明确的时间时使用,然而,即使在这样的情况下,总波函数还是有时间依赖性。

定态薛定谔方程(通用)

Time-independent Schrödinger equation (general)

$${\displaystyle \operatorname {\hat {H}} \Psi =E\Psi }$$

定态薛定谔方程(单一的非相对论粒子)

Time-independent Schrödinger equation (single non-relativistic particle)

As before, the most famous manifestation is the non-relativistic Schrödinger equation for a single particle moving in an electric field (but not a magnetic field):

和之前一样,最著名的是单一粒子在电场中运动的非相对论定态薛定谔方程(非磁场):

$${\displaystyle \left[{\frac {-\hbar ^{2}}{2\mu }}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} )\right]\Psi (\mathbf {r} )=E\Psi (\mathbf {r} )}$$

reference:Schrödinger equation

波函数

描述粒子的德布罗意波的一种函数,定义:量子力学中描述微观系统状态的函数,波函数通常用符号$ \Psi$ 表示,波函数表达的粒子状态由空间位置和时间确定。在经典力学中,用质点的位置和动量(或速度)来描写宏观质点的状态,这是质点状态的经典描述方式,它突出了质点的粒子性。由于微观粒子具有波粒二象性,粒子的位置和动量不能同时有确定值(测不准原理),因而质点状态的经典描述方式不适用于对微观粒子状态的描述,薛定谔方程表明,在量子力学中,粒子以概率的方式出现,具有不确定性,其在宏观尺度下失效,可忽略不计。

reference: Wave function

不确定性原理(测不准原理)

不确定性原理(Uncertainty principle,又称测不准原理)由海森堡于1927年提出。

这个理论指出,你不可能同时知道一个粒子的位置和它的速度,粒子位置具有不确定性,$\sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}~~$

$\hbar $ is the reduced Planck constant,$\hbar=\frac{h}{2 \pi}$.

$\hbar$ 是约化普朗克常数,又称合理化普朗克常数,是角动量的最小衡量单位,$\hbar=\frac{h}{2 \pi} $.

The most common general form of the uncertainty principle is the Robertson uncertainty relation:
$${\displaystyle \sigma _{A}\sigma _{B}\geq \left|{\frac {1}{2i}}\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle \right|={\frac {1}{2}}\left|\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle \right|}$$
The Robertson uncertainty relation immediately follows from a slightly stronger inequality, the Schrödinger uncertainty relation:
$${\displaystyle \sigma _{A}^{2}\sigma _{B}^{2}\geq \left|{\frac {1}{2}}\langle[ \hat A,\hat B]\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle \right|^{2}+\left|{\frac {1}{2i}}\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle \right|^{2}}$$

reference:Uncertainty principle

Wave–particle duality

自旋

自旋是微观粒子的一种内在性质,是粒子与生俱来的一种角动量,每个粒子都具有特有的自旋,在量子力学中,任何体系的角动量都是量子化的,无法被改变的(但自旋角动量的指向可以改变),其取值只能为$s\times \hbar=s\times \frac{h}{2 \pi} $.其中,s称为自旋量子数,自旋量子数是整数或者半整数(0,1/2,1,3/2,……)

As a solution for a certain partial differential equation, the quantized angular momentum can be written as:

$\Vert \mathbf {s} \Vert ={\sqrt {s\,(s+1)}}\,\hbar $ ( $\Vert \mathbf {s} \Vert $ is the norm of the spin vector)

自旋是微观粒子的一种性质。自旋为0的粒子从各个方向看都一样,就像一个点。自旋为1的粒子在旋转360度後看起来一样。自旋为2的粒子旋转180度,自旋为1/2的粒子必须旋转2圈才会一样。 自旋为1/2的粒子组成宇宙的一切,而自旋为0,1,2的粒子产生物质体之间的力,微观粒子服从泡利不相容原理。

reference: Spin quantum number

自旋角动量

自旋角动量是系统的一个可观测量,它在空间中的三个分量和轨道角动量一样满足相同的对易关系。粒子自旋角动量遵从角动量的普遍规律,$p=\left( J\left( J+1 \right) \right) \frac{h}{2} $,J为自旋角动量量子数,J =0,1/2,1,3/2,……

泡利不相容原理

泡利不相容原理(Pauli exclusion principle)又称泡利原理、不相容原理,是微观粒子运动的基本规律之一。它指出:在费米子组成的系统中,不能有两个或两个以上的粒子处于完全相同的状态。在原子中完全确定一个电子的状态需要四个量子数,所以泡利不相容原理在原子中就表现为:不能有两个或两个以上的电子具有完全相同的四个量子数,或者说在轨道量子数m,l,n确定的一个原子轨道上最多可容纳两个电子,而这两个电子的自旋方向必须相反。

reference:Pauli exclusion principle

费米子

在一组由全同粒子组成的体系中,如果在体系的一个量子态(即由一套量子数所确定的微观状态)上只容许容纳一个粒子,这种粒子称为费米子。或者说自旋为半奇数(1/2,3/2…)的粒子统称为费米子,服从费米-狄拉克统计。

reference:Fermion

薛定谔的猫——Schrödinger’s cat

Schrödinger’s cat is a thought experiment, sometimes described as a paradox, devised by Austrian physicist Erwin Schrödinger in 1935.It illustrates what he saw as the problem of the Copenhagen interpretation of quantum mechanics applied to everyday objects. The scenario presents a cat that may be simultaneously both alive and dead,a state known as a quantum superposition, as a result of being linked to a random subatomic event that may or may not occur. The thought experiment is also often featured in theoretical discussions of the interpretations of quantum mechanics. Schrödinger coined the term Verschränkung (entanglement) in the course of developing the thought experiment.

薛定谔的猫是奥地利著名物理学家薛定谔提出的一个思想实验,试图从宏观尺度阐述微观尺度的量子叠加原理的问题,巧妙地把微观物质在人的意识参与观测的情况下是粒子还是波的存在形式和宏观的猫联系起来,以此求证观测介入时量子的存在形式。随着量子物理学的发展,薛定谔的猫还延伸出了平行宇宙等物理问题和哲学争议。

简述:薛定谔于1935年提出有关猫生死叠加的著名思想实验,是把微观领域的量子行为扩展到宏观世界的推演。这里必须要认识量子行为的一个现象:观测。微观物质有不同的存在形式,即粒子和波。通常,微观物质以波的叠加混沌态存在;一旦人的意识参与到观测行为中,它们立刻选择成为粒子(意识在实验中扮演着什么角色?意识的参与是怎么作用到实验中的量子的?是什么性质的作用?是一种力吗?是什么过程?不知道…)。实验是这样的:在一个盒子里有一只猫,以及少量放射性物质,有50%的概率放射性物质将会衰变并释放出毒气杀死这只猫,同时有50%的概率放射性物质不会衰变而猫将活下来。

根据经典物理学,两种结果中,必有一种状态必将在盒子里发生,有意思的是,外部观测者只有在打开盒子之后才能知道里面的结果。在量子世界里,当盒子处于关闭状态时,整个系统一直保持不确定性的波态,即猫生死叠加。猫到底是死是活必须在盒子打开后,外部观测者观测时,物质以粒子形式表现后才能确定。也就是说,这里的猫既是死的又是活的,显然,这个假设不符合常规逻辑思维,换个角度看,这只是一种不同的思维方式,这项实验旨在论证量子力学对微观粒子世界超乎常理的认识和理解,与此同时,这个实验使得微观不确定原理变成了宏观不确定原理。

薛定谔的猫本身是一个假设的概念,随着技术的发展,人们在光子、原子、分子中实现了薛定谔猫态,甚至已经开始尝试用病毒来制备薛定谔猫态,如刘慈欣《球状闪电》中变成量子态的人,人们已经越来越接近实现生命体的薛定谔猫。另一方面,人们发现薛定谔猫态(量子叠加态)本身就存在于生命过程中,而且是生物生存不可缺少的。

reference:Schrödinger’s cat

德布罗意方程组

$$p={\frac {h}{\lambda }}=\hbar k={\frac {E}{c}}$$

$$E=h\nu =\hbar \omega \,!$$

由此可以推出德布罗意公式

$$\lambda =\frac{h}{mv} =\frac{h}{p} $$

reference:Matter wave

Wave–particle duality

De Broglie–Bohm theory

Louis de Broglie

至于傅里叶变换和拉普拉斯变换,本来不想写的,太简单。考虑到其意义重大,编辑如下。

$$F{\left( w \right) } =F\left[ f{\left( t \right) } \right] =\int_{-\infty }^{\infty } f\left( t \right) e^{-jwt} d{t} $$

$$f{\left( t \right) } =F^{-1}\left[ F{\left( w \right) } \right] =\frac{1}{2\pi } \int_{-\infty }^{\infty } F\left( w \right) e^{jwt} d{w} $$

拉普拉斯变换就是在傅里叶变换基础之上引入了衰减因子$e^{-\sigma t}$ 得到的,原则上没有必要写,为了以后引用方便,一并编辑如下。

$$L\left[ f{\left( t \right) } \right] =F{\left( s \right) } =\int_{0}^{\infty } f\left( t \right) e^{-st} d{t} $$

$$L^{-1}\left[ F{\left( s \right) } \right] =f{\left( t \right) } =\frac{1}{2\pi j } \int_{\sigma -j\infty }^{\sigma +j\infty } F\left( s \right) e^{st} d{s} $$

图:Joseph Fourier

reference:Fourier transform

Fourier series

Joseph Fourier

Laplace transform

Pierre-Simon Laplace

伽玛函数

$$\Gamma {\left( s \right) } =\int_{0 }^{\infty }x^{s-1} e^{-x} d{x} $$

伽玛函数(Gamma函数),也叫欧拉第二积分,是阶乘函数在实数与复数上扩展的一类函数。该函数在分析学、概率论、偏微分方程和组合数学中有重要的应用。与之有密切联系的函数是贝塔函数,也叫第一类欧拉积分,它可以用来快速计算同伽马函数形式相类似的积分。



reference:Gamma function

贝塔函数

$$B\left( P,Q \right) =\frac{\Gamma \left( P \right) \Gamma \left( Q \right)}{\Gamma \left( P+Q \right)} =2\int_{0}^{\frac{\pi}{2} } sin^{2P-1} xcos^{2Q-1} xd{x} (P>0,Q>0)$$

图:Contour plot of the beta function

不完全贝塔函数

$$B(x;P,Q)=\int_{0}^{x} X^{P-1} \left( 1-X\right) ^{Q-1} dX$$

当x=1时,不完全贝塔函数变为完全贝塔函数,即:

$$B(P,Q)=\int_{0}^{1} x^{P-1} \left( 1-x\right) ^{Q-1} dx$$

不完全贝塔函数和对应贝塔函数的比值$I(x;P,Q)=\frac{B(x;P,Q)}{B(P,Q)}$ 构成了归一化的贝塔函数,而它正好是满足二项分布的随机变量的分布函数。

图:A plot of the beta function for positive x and y values

reference:Beta function

正态分布

$$f\left( x \right) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma } e^{-\frac{\left( x-\mu \right) ^{2} }{2\sigma ^2} } $$

又称高斯分布——Gaussian distribution,生活中处处都是正态分布,这个概率分布在数学、物理及工程等领域都非常重要,在统计学中更是有着重要的影响力,可说是将数学与生活进行完美结合的典范。

reference:Normal distribution

Multivariate normal distribution

牛顿-莱布尼茨公式

$$\int_{a}^{b} f\left( x \right) d{x} =F{\left( b \right) } -F{\left( a \right) }$$

reference:Fundamental theorem of calculus

牛顿第二运动定律

$$F =ma$$

reference: Newton’s laws of motion

牛顿万有引力定律

$$F=\frac{GMm}{r^{2} } $$

附:颠覆人类宇宙观的伟大数学公式,怎能不写?

reference:Isaac Newton

Newton’s law of universal gravitation

泰勒公式

对于正整数n,若函数$f\left( x \right) $在含有$x_{0}$ 的某个开区间$(a,b)$内具有直到$n+1$阶的导数,则对任意$x\in\left( a,b \right)$ 有:

$$f\left( x \right) =f\left( x_{0} \right) +{f ^{ ‘ }\left( x_{0} \right) }\left( x-x_{0} \right) +\frac{f ^{ ‘’ }\left( x_{0} \right) }{ 2 !}\left( x-x_{0} \right) ^{2}+\cdot \cdot \cdot +\frac{f ^{\left( n \right) }\left( x_{0} \right) }{ n !}\left( x-x_{0} \right) ^{n}+R_{n} \left( x \right) $$

其中,

$$R_{n} \left( x \right) =\frac{f ^{\left( n+1 \right) }\left( \xi \right) }{\left( n+1 \right) !}\left( x-x_{0} \right) ^{n+1}(\xi \in\left( a,b \right) )$$

为拉格朗日型余项

当,$$R_{n} \left( x \right) =\frac{f ^{\left( n+1 \right) }\left( \xi \right) }{\left( n+1 \right) !}\left( x-x_{0} \right) ^{n+1}=o\left[ \left( x-x_{0} \right) ^{n} \right] $$

(高阶无穷小)时,

在不需要余项精度精确性的表达式中,泰勒公式也可以写成如下形式:

$$f\left( x \right) =f\left( x_{0} \right) +{f ^{ ‘ }\left( x_{0} \right) }\left( x-x_{0} \right) +\frac{f ^{ ‘’ }\left( x_{0} \right) }{ 2 !}\left( x-x_{0} \right) ^{2}+\cdot \cdot \cdot +\frac{f ^{\left( n \right) }\left( x_{0} \right) }{ n !}\left( x-x_{0} \right) ^{n}+o\left[ \left( x-x_{0} \right) ^{n} \right] $$

reference:Taylor’s theorem

Brook Taylor

泰勒级数

如果$f{\left( x \right) } $在点$x=x_{0}$ 邻域内具有任意阶导数,则幂级数:

$$\sum_{n=0}^{\infty }{\frac{f ^{\left( n \right) }\left( x_{0} \right) }{ n !}\left( x-x_{0} \right) ^{n} } =f\left( x_{0} \right) +{f ^{ ‘ }\left( x_{0} \right) }\left( x-x_{0} \right) +\frac{f ^{ ‘’ }\left( x_{0} \right) }{ 2 !}\left( x-x_{0} \right) ^{2}+\cdot \cdot \cdot +\frac{f ^{\left( n \right) }\left( x_{0} \right) }{ n !}\left( x-x_{0} \right) ^{n}+\cdot \cdot \cdot $$

称为$f{\left( x \right) } $在点$x_{0} $处的泰勒级数。


reference: Brook Taylor

Taylor series

齐奥尔科夫斯基公式

$${\displaystyle \Delta v=v_{\text{e}}\ln {\frac {m_{0}}{m_{f}}}}$$

$\Delta v $ is delta-v - the maximum change of velocity of the vehicle (with no external forces acting).

$m_{0} $ is the initial total mass, including propellant.

$m_{f}$ is the final total mass without propellant, also known as dry mass.

$v_{\text{e}} $ is the effective exhaust velocity.

$\ln $ refers to the natural logarithm function.

The Tsiolkovsky rocket equation, or ideal rocket equation, describes the motion of vehicles that follow the basic principle of a rocket: a device that can apply acceleration to itself (a thrust) by expelling part of its mass with high speed and thereby move due to the conservation of momentum. The equation relates the delta-v (the maximum change of velocity of the rocket if no other external forces act) with the effective exhaust velocity and the initial and final mass of a rocket (or other reaction engine).
简述:齐奥尔科夫斯基公式是在不考虑空气动力和地球引力的理想情况下,计算火箭在发动机工作期间获得速度增量的公式。


reference:Tsiolkovsky rocket equation

Konstantin Tsiolkovsky

Non-rocket spacelaunch

Soviet space program

阿基米德杠杆原理

$$F_{1} L_{1} =F_{2} L_{2} $$


reference:Lever

Archimedes’ principle

Archimedes

玻尔兹曼公式

$$S=kln\Omega $$

玻尔兹曼公式,外文名:Boltzmann’s entropic equation.1854年德国科学家克劳修斯首先引进了熵的概念,1877年,玻尔兹曼用下面的关系式来表示系统无序性的大小:$S∝lnΩ$.1900年,普朗克引进了比例系数k,将上式写为:$S=kln\Omega $



reference: Boltzmann’s entropy formula

Ludwig Boltzmann

Boltzmann equation

Boltzmann constant

Boltzmann machine

Ludwig Boltzmann


图:Rudolf Clausius——Entropy

reference:Boltzmann’s entropy formula

Entropy

Ludwig Boltzmann

Rudolf Clausius

Clausius–Clapeyron relation

Clausius theorem

Virial theorem

黎曼ζ函数

黎曼$\zeta$函数$\zeta (s)$的定义:设一复数$s$,其实数部份$R>1$,且在区域 $ \left{ s : Re(s)>1 \right} $ 上,此无穷级数收敛并为一全纯函数。

The Riemann zeta function $ζ(s)$ is a function of a complex variable $s = \sigma + it$. (The notation $s$, $\sigma$ , and t is used traditionally in the study of the $ζ$-function, following Riemann.)

The following infinite series converges for all complex numbers s with real part greater than 1, and defines $ζ(s)$ in this case:

$$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\cdots \;\;\;\;\;\;\;\sigma ={\mathfrak {R}}(s)>1.!$$

It can also be defined by the integral:

$$\zeta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}-1}}\mathrm {d} x$$

The Riemann zeta function is defined as the analytic continuation of the function defined for $\sigma > 1$ by the sum of the preceding series.

Leonhard Euler considered the above series in 1740 for positive integer values of $s$, and later Chebyshev extended the definition to $Re(s)>1$.

The above series is a prototypical Dirichlet series that converges absolutely to an analytic function for s such that $\sigma > 1$ and diverges for all other values of s. Riemann showed that the function defined by the series on the half-plane of convergence can be continued analytically to all complex values $s \ne 1$. For $ s = 1 $the series is the harmonic series which diverges to $+\infty$ , and

$\lim _{s\to 1}(s-1)\zeta (s)=1.$

Thus the Riemann zeta function is a meromorphic function on the whole complex s-plane, which is holomorphic everywhere except for a simple pole at $s = 1$ with residue 1.

全纯函数——holomorphic function

In mathematics, a holomorphic function is a complex-valued function of one or more complex variables that is complex differentiable in a neighborhood of every point in its domain. The existence of a complex derivative in a neighborhood is a very strong condition, for it implies that any holomorphic function is actually infinitely differentiable and equal to its own Taylor series (analytic). Holomorphic functions are the central objects of study in complex analysis.

全纯函数 (holomorphic function) 是复理论研究的核心之一,它们是复流形到 $C $的处处可微函数。全纯比实可微强很多,它直接推出函数无穷阶可微并可泰勒展开。“(复) 解析函数 (analytic function)” 可和 “全纯函数” 交换使用,但不常用,一般用来指实解析函数。”在一点全纯” 可推出在该点的某个开邻域可微。类似地,可以定义全纯多复变函数。全纯映射(holomorphic mapping) 是指两个复流形之间的局部全纯函数。

Given a complex-valued function f of a single complex variable, the derivative of f at a point z_{0} in its domain is defined by the limit:

$$ f’(z_{0})=\lim {z\to z{0}}{f(z)-f(z_{0}) \over z-z_{0}} $$

This is the same as the definition of the derivative for real functions, except that all of the quantities are complex. In particular, the limit is taken as the complex number z approaches $z_{0}$ , and must have the same value for any sequence of complex values for z that approach $z_{0} $ on the complex plane. If the limit exists, we say that f is complex-differentiable at the point $ z_{0} $. This concept of complex differentiability shares several properties with real differentiability: it is linear and obeys the product rule, quotient rule, and chain rule.
If f is complex differentiable at every point $z_{0}$ in an open set U, we say that f is holomorphic on U. We say that f is holomorphic at the point $z_{0}$ if it is holomorphic on some neighborhood of $z_{0}$ .We say that f is holomorphic on some non-open set A if it is holomorphic in an open set containing A.

reference: Riemann zeta function

reference: Holomorphic function

黎曼猜想——Riemann hypothesis

In mathematics, the Riemann hypothesis is a conjecture that the Riemann zeta function has its zeros only at the negative even integers and the complex numbers with real part 1/2. It was proposed by Bernhard Riemann (1859), after whom it is named. The name is also used for some closely related analogues, such as the Riemann hypothesis for curves over finite fields.

The Riemann hypothesis implies results about the distribution of prime numbers. Along with suitable generalizations, some mathematicians consider it the most important unresolved problem in pure mathematics (Bombieri 2000). The Riemann hypothesis, along with Goldbach’s conjecture, is part of Hilbert’s eighth problem in David Hilbert’s list of 23 unsolved problems; it is also one of the Clay Mathematics Institute’s Millennium Prize Problems.

黎曼猜想是关于黎曼$\zeta$函数$\zeta (s)$的零点分布的猜想,由数学家黎曼于1859年提出。希尔伯特的23个数学问题,被认为是20世纪数学的制高点,其中便包括黎曼假设,现今克雷数学研究所悬赏的世界七大数学难题中也包括黎曼猜想。

黎曼观察到,素数的频率紧密相关于一个精心构造的函数——黎曼zeta函数——黎曼$\zeta$ 函数的性态。黎曼假设断言,方程$\zeta (s)=0$的所有有意义的解都在一条直线上。

黎曼$\zeta$ 函数$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=1+\frac{1}{2^{s} } +\frac{1}{3^{s} }+\frac{1}{4^{s} }+\cdot \cdot \cdot +\frac{1}{n^{s} }+\cdot \cdot \cdot$ 是级数表达式在复平面上的解析延拓。之所以要对这一表达式进行解析延拓, 是因为这一表达式只适用于复平面上$s$的实部 $Re(s) > 1 $的区域 (否则级数不收敛)。

It can also be defined by the integral:

黎曼$\zeta $函数的积分形式:

$$\zeta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}-1}}\mathrm {d} x$$

The Riemann zeta function satisfies the functional equation (known as the Riemann functional equation or Riemann’s functional equation):

黎曼$ \zeta$ 函数满足函数方程(即黎曼函数方程):

$$\zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \Gamma (1-s)\ \zeta (1-s)!$$

从这个关系式中不难发现,黎曼$\zeta$函数在$ s=-2n (n为正整数)$时,其值为零$\left( because\ sin \left( n \pi \right) =0 \right)$ .复平面上使黎曼$ \zeta$ 函数取值为零的点被称为黎曼$\zeta$函数的零点,因此 $s=-2n(n为正整数)$是黎曼$\zeta$函数的零点。这些零点分布有序、性质简单,被称为黎曼$ \zeta$ 函数的平凡零点 (trivial zero).除了这些平凡零点外,黎曼$\zeta$函数还有许多其它零点,它们的性质远比这里的平凡零点来得复杂,被称为非平凡零点 (non-trivial zeros).

黎曼猜想指出,黎曼$\zeta$函数的所有非平凡零点都位于复平面上 $Re(s)=\frac{1}{2} $的直线上,换一种表述就是,方程$\zeta (s)=0$的解的实部都为$\frac{1}{2}$ .

在黎曼猜想的研究中,数学家把复平面上 $ Re(s)=\frac{1}{2}$ 的直线称为critical line(临界线)。运用这一术语,黎曼猜想也可以表述为:黎曼$\zeta$函数的所有非平凡零点都位于 critical line 上。


reference: Riemann hypothesis

reference related articles:Riemann Xi function

Riemann’s differential equation

Bernhard Riemann

Theta function





reference related articles: Theta function

黎曼曲面

In mathematics, particularly in complex analysis, a Riemann surface, first studied by and named after Bernhard Riemann, is a one-dimensional complex manifold. Riemann surfaces can be thought of as deformed versions of the complex plane: locally near every point they look like patches of the complex plane, but the global topology can be quite different. For example, they can look like a sphere or a torus or several sheets glued together.

The main point of Riemann surfaces is that holomorphic functions may be defined between them. Riemann surfaces are nowadays considered the natural setting for studying the global behavior of these functions, especially multi-valued functions such as the square root and other algebraic functions, or the logarithm.

Every Riemann surface is a two-dimensional real analytic manifold (i.e. a surface), but it contains more structure (specifically a complex structure) which is needed for the unambiguous definition of holomorphic functions. A two-dimensional real manifold can be turned into a Riemann surface (usually in several inequivalent ways) if and only if it is orientable and metrizable. So the sphere and torus admit complex structures, but the Möbius strip, Klein bottle and projective plane do not.

在数学中,特别是在复分析中,黎曼曲面是一个一维复流形。黎曼曲面可以被认为是一个复平面的变形版本:在每一点局部看来,它们就像一片复平面,但整体的拓扑可能极为不同。例如,它们可以看起来像球或是环,或者两个页面粘在一起。

黎曼曲面的要点在于在它们之间可以定义全纯函数(holomorphic function)。黎曼曲面被认为是研究这些函数的整体行为的自然选择,特别是像平方根和自然对数这样的多值函数。

每个黎曼曲面都是二维实解析流形(也就是曲面),但它有更多的结构(特别是一个复结构),因为多值函数的无歧义的定义需要用到这些结构。当且仅当一个实二维流形是可定向且可度量化的时,它可以变为一个黎曼曲面(通常有几种不同的方式)。所以,球和环有复结构,而莫比乌斯圈,克莱因瓶和投影平面没有。

There are several equivalent definitions of a Riemann surface.

1.A Riemann surface X is a complex manifold of complex dimension one. This means that X is a Hausdorff topological space endowed with an atlas: for every point x ∈ X there is a neighbourhood containing x homeomorphic to the unit disk of the complex plane. The map carrying the structure of the complex plane to the Riemann surface is called a chart. Additionally, the transition maps between two overlapping charts are required to be holomorphic.

2.A Riemann surface is an oriented manifold of (real) dimension two – a two-sided surface – together with a conformal structure. Again, manifold means that locally at any point x of X, the space is homeomorphic to a subset of the real plane. The supplement “Riemann” signifies that X is endowed with an additional structure which allows angle measurement on the manifold, namely an equivalence class of so-called Riemannian metrics. Two such metrics are considered equivalent if the angles they measure are the same. Choosing an equivalence class of metrics on X is the additional datum of the conformal structure.







波恩哈德·黎曼(1826年9月17日-1866年7月20日),德国数学家、物理学家,对数学分析和微分几何做出了重要贡献,其中一些为广义相对论的发展铺平了道路。
他的名字出现在黎曼$ \zeta$函数,黎曼积分,黎曼几何,黎曼引理,黎曼流形,黎曼映照定理,黎曼-希尔伯特问题,黎曼思路回环矩阵和黎曼曲面中。
1857年,他初次登台作了题为“论作为几何基础的假设”的演讲,开创了黎曼几何,并为爱因斯坦的广义相对论提供了数学基础。他在1857年升为哥廷根大学的编外教授,并在1859年狄利克雷去世后成为正教授。

reference: Riemann surface

Riemann–Roch theorem

Riemann integral

Riemannian connection on a surface

Riemannian manifold

Riemann Surfaces-PDF

狄利克雷函数

$$D\left( x \right) =\lim_{k \rightarrow \infty }{\left( \lim_{j \rightarrow \infty }{\left( cos\left( k!\pi x \right) \right)^{2j} } \right) } $$

$(k,j为整数)$也可以简单地表示分段函数的形式,$D(x)= 0(x是无理数)或1(x是有理数)$。

狄利克雷函数(英语:dirichlet function)是一个定义在实数范围上、值域为不连续的函数。狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴,是一个偶函数,它处处不连续,处处极限不存在,不可黎曼积分,是一个处处不连续的可测函数。

reference: Nowhere continuous function

Peter Gustav Lejeune Dirichlet

Dirichlet distribution

Dirichlet-multinomial distribution

Dirichlet process

Dirichlet series

Dirichlet convolution

庞加莱猜想

庞加莱猜想(Poincaré conjecture)是法国数学家庞加莱提出的一个猜想,是克雷数学研究所悬赏的七个千禧年大奖难题之一。其中三维的情形被俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼于2003年左右证明,2006年,数学界最终确认佩雷尔曼的证明解决了庞加莱猜想。

In mathematics, the Poincaré conjecture is a theorem about the characterization of the 3-sphere, which is the hypersphere that bounds the unit ball in four-dimensional space. The conjecture states:

Every simply connected, closed 3-manifold is homeomorphic to the 3-sphere.

庞加莱猜想的陈述:任一单连通的、封闭的三维流形与三维球面同胚。

简述:每一个没有洞的封闭三维物体,都拓扑等价于三维的球面。

换个粗浅的比喻:如果我们伸缩围绕一个柳橙表面的橡皮筋,那么我们可以既不扯断它,也不让它离开表面,使它慢慢移动收缩为一个点;另一方面,如果我们想象同样的橡皮筋以适当的方向被伸缩在一个甜甜圈表面上,那么不扯断橡皮筋或者甜甜圈,是不可能让它既不离开表面又不收缩为一个点的。我们说,柳橙表面是“单连通的”,而甜甜圈表面则不是。

该猜想是一个属于代数拓扑学领域的具有基本意义的命题,对“庞加莱猜想”的证明及其带来的后果将会加深数学家对流形性质的认识,甚至会对人们用数学语言描述宇宙空间产生影响,对于一维与二维的情形,此猜想是对的,现在已经证明,它对于任何维数都是对的。


reference:Poincaré conjecture

Henri Poincaré

Poincaré disk model

Poincaré half-plane model

Poincaré group

Poincaré recurrence theorem

Poincaré duality

Poincaré inequality

Poincaré–Birkhoff–Witt theorem

注:麦克斯韦方程组部分的编辑出现问题,LaTeX语言在hexo的渲染下有一些问题,请移至原文查看。原文(全文)阅读地址:我与她的恋情

《我与她的恋情》
此刻的我只是在想
若再次遇见曾经的你
终不会,诚惶诚恐
毕竟
曾深爱的,也最易失去

一度挥霍
将当初的沉迷沉埋心底
到如今
重回巅峰

时间流变
坚持,哪有那么简单
数学的世界容不下杂念
从来如此
历经时间的考验
经受心灵的质疑
想是,这份爱
终如我愿
天长地久,生生长流

——2016年9月28日晚

七桥问题

The Seven Bridges of Königsberg is a historically notable problem in mathematics. Its negative resolution by Leonhard Euler in 1736 laid the foundations of graph theory and prefigured the idea of topology.

The city of Königsberg in Prussia (now Kaliningrad, Russia) was set on both sides of the Pregel River, and included two large islands which were connected to each other and the mainland by seven bridges. The problem was to devise a walk through the city that would cross each bridge once and only once, with the provisos that: the islands could only be reached by the bridges and every bridge once accessed must be crossed to its other end. The starting and ending points of the walk need not be the same.

Euler proved that the problem has no solution. The difficulty was the development of a technique of analysis and of subsequent tests that established this assertion with mathematical rigor.

1736年29岁的欧拉向圣彼得堡科学院递交了《哥尼斯堡的七座桥》的论文,在解答问题的同时,开创了数学的一个新的分支——图论与几何拓扑,也由此展开了数学史上的新历程。七桥问题提出后,很多人对此很感兴趣,纷纷进行试验,但在相当长的时间里,始终未能解决。欧拉通过对七桥问题的研究,不仅圆满地回答了哥尼斯堡居民提出的问题,而且得到并证明了更为广泛的有关一笔画的三条结论,人们通常称之为“欧拉定理F”。

简述:18世纪初普鲁士的哥尼斯堡,有一条河穿过,河上有两个小岛,有七座桥把两个岛与河岸联系起来。有人提出一个问题:一个步行者怎样才能不重复、不遗漏地一次走完七座桥,最后回到出发点。后来大数学家欧拉把它转化成一个几何问题——一笔画问题。他不仅解决了此问题,且给出了连通图可以一笔画的充要条件是:奇点的数目不是0 个就是2 个(连到点上的线的数目如果是奇数,称为奇点,如果是偶数,称为偶点)。换句话说:要想一笔画成,必须中间点均是偶点,也就是有来路必有另一条去路,奇点只可能在两端,因此任何图能一笔画成,奇点要么没有要么在两端。

reference:Seven Bridges of Königsberg

更新:最新领悟
高数有两大难点。
一是系统性。不算是难点,而是内容的交错联系形成的庞大群系。
二是数学思维。连续性,离散性,收敛性,发散性,有界性,无界性,特别是无穷思想、无限性,广义与狭义。
我可以忽略第一点,但只能接近第二点,我相信所有人都无法克服第二点,即便是伟大的数学家。
不得不承认,面对第二点,人的脑袋太不够用。
人类的无知,全在第二点。淋漓尽致!
但凡没有领悟第二点,和没学过数学没有任何区别。
我想,我会被第二点折磨终身。
同时,我享受着这种折磨。
以上。

——2016年国庆节期间

看到这里······你说,数学到底美不美?希望透过此文,可以让更多的人了解数学,真真切切的体会到数学之美。轻启数学之门,尘埃落定,一个奇妙的新世界跃然眼前······我想,这便是此文的最大愿望了······



  • 后记:楼主高中开始推数学公式,现在已经有不少原创数学公式和研究成果,其中泰勒级数我高中就推过,那个时候有点苗头,只可惜,上大学后明白了什么是“井底之蛙”。数学发展到今天,路几乎被数学家们踩烂了,当然,每个时代都有每个时代的命运,无论什么时代,都会有数学难题困扰着数学家,路漫漫其修远,每个人都有机会。

  • 4年,一度荒废后,2016年重拾数学,经过大半年的学习,现在已经找回巅峰时期的状态,大学虽然几乎荒废了数学,但也有几个创造性的数学研究,总体来说都不是很满意。接下来的目标就是将所有数学专业的专业课程从低到高,一直研究到专业学术层,在闲暇时间的专业数学研究道路上朝着想去的方向越走越远······毫无疑问,我将不断进行数学研究,我将一直行走在这条路上,直至生命的尽头。

数学难题之千禧年大奖

千禧年大奖难题(Millennium Prize Problems), 又称世界七大数学难题, 是七个由美国克雷数学研究所(Clay Mathematics Institute,CMI) 于2000年5月24日公布的数学猜想。根据克雷数学研究所订定的规则,任何一个猜想的解答,只要发表在数学期刊上,并经过两年的验证期,解决者就会被颁发一百万美元奖金。

世界七大数学难题

NP完全问题、霍奇猜想、庞加莱猜想、黎曼假设、杨·米尔斯理论、纳卫尔-斯托可方程、BSD猜想。

1.NP完全问题

例:在一个周六的晚上,你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安,你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。宴会的主人向你提议说,你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。不费一秒钟,你就能向那里扫视,并且发现宴会的主人是正确的。然而,如果没有这样的暗示,你就必须环顾整个大厅,一个个地审视每一个人,看是否有你认识的人。
生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。这是这种一般现象的一个例子。与此类似的是,如果某人告诉你,数$13717421$可以写成两个较小的数的乘积,你可能不知道是否应该相信他,但是如果他告诉你它可以分解为$3607$乘上$3803$,那么你就可以用一个袖珍计算器验证,很快,你会发现,这是对的。
人们发现,所有的完全多项式非确定性问题,都可以转换为一类叫做满足性问题的逻辑运算问题。既然这类问题的所有可能答案,都可以在多项式时间内计算,人们于是就猜想,是否这类问题,存在一个确定性算法,可以在多项式时间内,直接算出或是搜寻出正确的答案呢?这就是著名的NP=P?的猜想。不管我们编写程序是否灵巧,判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证,还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解,被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。它是斯蒂文·考克于1971年陈述的。

2.霍奇猜想

二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样的程度上,我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用,使得它可以用许多不同的方式来推广;最终导致一些强有力的工具,使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。不幸的是,在这一推广中,程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下,必须加上某些没有任何几何解释的部件。霍奇猜想断言,对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说,称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。

3.庞加莱猜想

如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带,那么我们可以既不扯断它,也不让它离开表面,使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面,如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上,那么不扯断橡皮带或者轮胎面,是没有办法把它收缩到一点的。我们说,苹果表面是“单连通的”,而轮胎面不是。大约在一百年以前,庞加莱已经知道,二维球面本质上可由单连通性来刻画,他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。这个问题立即变得无比困难,从那时起,数学家们就在为此奋斗。
在2002年11月和2003年7月之间,俄罗斯的数学家格里戈里·佩雷尔曼在发表了三篇论文预印本,并声称证明了几何化猜想。
在佩雷尔曼之后,先后有2组研究者发表论文补全佩雷尔曼给出的证明中缺少的细节。这包括密西根大学的布鲁斯·克莱纳和约翰·洛特;哥伦比亚大学的约翰·摩根和麻省理工学院的田刚。
2006年8月,第25届国际数学家大会授予佩雷尔曼菲尔兹奖。数学界最终确认佩雷尔曼的证明解决了庞加莱猜想。

4.黎曼假设

有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质,例如,$2、3、5、7……$等等。这样的数称为素数;它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中,这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式;然而,德国数学家黎曼(1826~1866)观察到,素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼$zeta$函数$\zeta(s)$的性态。著名的黎曼假设断言,方程$\zeta(s)=0$的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的$1,500,000,000$个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。
黎曼假设之否认:其实虽然因素数分布而起,但是却是一个歧途,因为伪素数及素数的普遍公式告诉我们,素数与伪素数由它们的变量集决定的。具体参见伪素数及素数词条。

5.杨-米尔斯存在性和质量缺口

量子物理的定律是以经典力学的牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世界成立的。大约半个世纪以前,杨振宁和米尔斯发现,量子物理揭示了在基本粒子物理与几何对象的数学之间的令人注目的关系。基于杨-米尔斯方程的预言已经在如下的全世界范围内的实验室中所履行的高能实验中得到证实:布罗克哈文、斯坦福、欧洲粒子物理研究所和驻波。尽管如此,他们的既描述重粒子、又在数学上严格的方程没有已知的解。特别是,被大多数物理学家所确认、并且在他们的对于“夸克”的不可见性的解释中应用的“质量缺口”假设,从来没有得到一个数学上令人满意的证实。在这一问题上的进展需要在物理上和数学上两方面引进根本上的新观念。

6.纳卫尔-斯托可方程的存在性与光滑性

起伏的波浪跟随着我们正在湖中蜿蜒穿梭的小船,湍急的气流跟随着我们现代喷气式飞机的飞行。数学家和物理学家深信,无论是微风还是湍流,都可以通过理解纳维叶-斯托克斯方程的解,来对它们进行解释和预言。虽然这些方程是19世纪写下的,我们对它们的理解仍然极少。挑战在于对数学理论作出实质性的进展,使我们能解开隐藏在纳维叶-斯托克斯方程中的奥秘。

7.BSD猜想

数学家总是被诸如$x^{2} +y^{2}=z^{2}$那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。欧几里德曾经对这一方程给出完全的解答,但是对于更为复杂的方程,这就变得极为困难。事实上,正如马蒂雅谢维奇指出,希尔伯特第十问题是不可解的,即,不存在一般的方法来确定这样的方程是否有一个整数解。当解是一个阿贝尔簇的点时,贝赫和斯维讷通-戴尔猜想认为,有理点的群的大小与蔡塔函数$z(s)$在点$s=1$附近的性态有关。特别是,这个有趣的猜想认为,如果$z(1)$等于$0$,那么存在无限多个有理点(解)。相反,如果$z(1)$不等于$0$。那么只存在着有限多个这样的点。

希尔伯特的23个数学问题——Hilbert’s problems

Hilbert’s problems are a list of twenty-three problems in mathematics published by German mathematician David Hilbert in 1900. The problems were all unsolved at the time, and several of them were very influential for 20th century mathematics. Hilbert presented ten of the problems (1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21 and 22) at the Paris conference of the International Congress of Mathematicians, speaking on August 8 in the Sorbonne. The complete list of 23 problems was published later, most notably in English translation in 1902 by Mary Frances Winston Newson in the Bulletin of the American Mathematical Society.

希尔伯特问题是德国数学家大卫·希尔伯特(David Hilbert)于1900年出版的23个数学问题,当时,这些数学问题还没有得到解决,这其中的几个问题对20世纪数学有非常大的影响力。8月8日,在巴黎索邦举行的第二届国际数学家大会上,希尔伯特作了题为《数学问题》的演讲,提出了十个问题(1,2,6,7,8,13,16,19,21和22),随后才出版了完整的系列23问。

希尔伯特问题中的1-6是数学基础问题,7-12是数论问题,13-18属于代数和几何问题,19-23属于数学分析。

希尔伯特问题中未能包括拓扑学、微分几何等领域,除数学物理外很少涉及应用数学,更不曾预料到电脑的发展将对数学产生重大影响,20世纪数学的发展实际上远远超出了希尔伯特预想的范围。

希尔伯特问题对推动20世纪数学的发展起了积极的推动作用。在数学家们的共同努力下,希尔伯特问题中的大多数在20世纪中得到了解决。

reference:Hilbert’s problems

David Hilbert

说明:此文编辑时间有限,如果有新的东西需要补充,以后有时间会来更新,还有很多数学公式、方程、图形······在这里无法一一罗列,也只好作罢。除此之外,还有很多伟大的数学家都还没有一一涉猎有关他们的故事和数学研究成果,比如柯西,拉格朗日,雅克比,格林,阿贝尔,费马,图灵,冯诺依曼,陈景润,华罗庚,希尔伯特,欧几里得······太多太多了,受限于时间,点到为止。

说到这里,顺手扒了下著名数学家的名单,说实话,比我想象的还要多······看着这些名字,都足以让人振奋······

以下,引用自百科。

国外著名数学家

1:古希腊
阿基米德、泰勒斯、毕达哥拉斯、欧几里得、丢番图、芝诺、托勒密、希帕蒂亚、尼克米迪斯 、阿波罗尼奥斯 、阿尔希塔斯、阿里斯泰奥斯、阿利斯塔克、埃拉托塞尼
2:德国
高斯、莱布尼茨、希尔伯特、康托尔、克莱因、黎曼、艾米·诺特、狄利克雷、柯朗、策梅洛、哈塞 、阿德勒、阿亨瓦尔、阿龙霍尔德、阿皮安努斯
3:法国
笛卡尔、拉格朗日、拉普拉斯、梅森、费马、柯西、泊松、嘉当、伽罗瓦、傅立叶、索菲·热尔曼、格罗森迪克、庞加莱、阿波加斯特 、阿尔方阿博、阿博加斯特、阿达马、阿尔迪、阿尔诺、阿佩尔、阿乌斯特、阿歇特、埃尔布朗、埃尔米特
4:美国
阿尔弗斯、约瑟夫·特朗、约翰·纳什、惠特尼、约翰·泰特、诺伯特·维纳、仙农、柯蒂斯·库珀、马丁·加德纳、阿波斯托尔
5:英国
牛顿、泰勒、麦克劳林、罗素、安德鲁·怀尔斯、埃斯特曼、哈代、利尔特伍德、阿巴思诺特、惠特克、惠斯顿 、阿德拉德、阿蒂亚、阿尔昆、艾达·拜伦、艾弗里
6:瑞士
欧拉、伯努利、丹尼尔·伯努利、雅各布·伯努利、约翰·伯努利、阿尔冈、阿姆斯勒
7:匈牙利
费耶、爱尔特希、冯·诺依曼、阿采儿、爱尔特希
8:挪威
阿贝尔
9:澳大利亚
陶哲轩、派斯
10:苏联
庞特里亚金、鲁金、阿诺尔德、什尼列尔曼、布赫夕太勃、巴尔巴恩、柯尔莫洛科夫、闵可夫斯基、佩雷尔曼 、罗巴切夫斯基、阿诺尔德
11:意大利
蕾西、伽利略、斐波那契、塔塔利亚、卡尔达诺、费拉里、阿巴蒂、阿巴科 、帕乔利、阿尔贝蒂、阿尔泽拉、阿涅西、阿斯科利
12:印度
婆罗摩笈多、婆什伽罗、拉马努金、阿耶波多
13:爱尔兰
汉密尔顿
14:瑞典
米塔·列夫勒、弗列特荷姆、伦纳特·卡勒松
15:丹麦
波默伦克
16:捷克
博鲁夫卡
17:日本
建部贤弘、会田安明
18:比利时
卡塔朗、哈托格斯
19:波兰
阿布丹克
20:墨西哥
阿尔萨特
21:奥地利
阿廷
22:阿拉伯
阿维森纳、艾布瓦法、花剌子模
23:罗马尼亚
埃曼努尔

华人数学家

古代

刘徽(约公元225年—295年)、赵爽(东汉末至三国时代吴国人)、祖冲之(公元429年生)、祖暅(祖冲之之子)、沈括(公元1031~1095年)、张丘建(北魏人)、秦九韶(1208年生)、郭守敬(1231年生)、朱世杰(1249年生)、贾宪(北宋人)、杨辉(南宋时期)、王恂(1235年生)、徐光启(1562年生)、梅文鼎(1633-1721)、薛凤柞、阮元(1764年生)、李善兰(1811年生)、王贞仪(1768-1797)

中国近现代世界著名数学家

胡明复、冯祖荀、姜立夫、陈建功、熊庆来、苏步青、江泽涵、许宝騄、华罗庚、陈省身、林家翘、吴文俊、陈景润、丘成桐、冯康、周伟良、萧荫堂、钟开莱、项武忠、项武义、龚升、王湘浩、伍鸿熙、严志达、陆家羲、苏家驹、王菊珍、谷超豪、王元、潘承洞、魏宝社、高扬芝、徐瑞云、王见定、吕晗
部分数学家简介
祖冲之
祖冲之,曾经算出月球绕地球一周为时27.21223日,与现代公认的27.21222日几乎没有误差。月球上许多火山口中的一个被命名为“祖冲之”。祖冲之还曾经计算出圆周率应该在3.1415926和3.1415927之间。法国巴黎的“发现宫”科学博物馆中也有祖冲之的大名和他发现的圆周率值。在莫斯科国立大学礼堂廊壁上,用彩色大理石镶嵌的世界各国著名的科学家肖像中,也有中国的祖冲之和李时珍。

丘成桐
几何方面的杰出工作,丘成桐在1982年获得了数学界的最高奖之一菲尔兹奖。1994年,获得了瑞典皇家学员颁发的国际上著名的克雷福德奖。1997年获美国国家科学奖。丘成桐最著名的成就是证明了卡拉比猜想。以他的名字命名的“卡拉比-丘流形”已成为物理学中弦理论中的重要概念。

陶哲轩
陶哲轩是澳大利亚籍华裔数学家,现任教于美国加州大学洛杉矶分校(UCLA)数学系。他在分析学和数论等领域做出了很多重要的工作,包括他和Ben Green在2004年证明的存在任意有限长度的素数等差数列的结果。他在2006年获得菲尔兹奖,是继丘成桐之后获得该奖的第二位华人。
王见定
1983年王见定教授在世界上首次提出半解析函数理论,1988年又首次提出并系统建立了共轭解析函数理论;并将这两项理论成功地应用于电场、磁场、流体力学、弹性力学等领域。此两项理论受到众多专家、学者的引用和发展,并由此引发双解析函数、复调和函数、多解析函数(k阶解析函数)、半双解析函数、半共轭解析函数以及相应的边值问题、微分方程、积分方程等一系列新的数学分支的产生,而且这种发展势头强劲有力,不可阻挡。这是中国学者对发展世界数学作出的前所未有的大范围的原创工作。

数学家王见定教授的半解析函数.共轭解析函数理论是:柯西.黎曼.维尔斯特拉斯.高斯.欧拉等世界数学大师开创的解析函数的推广和发展。
华罗庚
华罗庚(1910.11.12—1985.6.12),汉族,籍贯江苏金坛,祖籍江苏省丹阳。
世界著名数学家,中国科学院院士,美国国家科学院外籍院士,第三世界科学院院士,联邦德国巴伐利亚科学院院士。中国第一至第六届全国人大常委会委员。他是中国解析数论、矩阵几何学、典型群、自守函数论与多元复变函数论等多方面研究的创始人和开拓者,也是中国在世界上最有影响力的数学家之一,被列为芝加哥科学技术博物馆中当今世界88位数学伟人之一。国际上以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”、“华氏不等式”、“华—王方法”等。

陈省身
1911年10月28日生于浙江嘉兴秀水县,美籍华人,20世纪世界级的几何学家,他开创并领导着整体微分几何、纤维丛微分几何、“陈示性类”等领域的研究,在国际上享有“微分几何之父”的美誉,曾获得美国国家科学奖、“沃尔夫奖”和“邵逸夫奖”等殊荣。
摘录几个数学家的有趣故事
伽罗瓦
伽罗瓦(Galois),19世纪最伟大的法国数学家之一。他16岁时就参加了巴黎综合理工学院的入学考试,结果面试时因为解题步骤跳跃太大,搞得考官们不知所云,最后没能通过考试。
在数学历史上,伽罗瓦毫无疑问是最富传奇色彩与浪漫色彩的数学家之一。18岁时,伽罗瓦漂亮地解决了当时数学界的顶级难题:为什么五次及五次以上的多项式方程没有一般的解。他把这一研究成果提交给了法国科学院,由大数学家柯西(Augustin-Louis Cauchy)负责审稿;然而,柯西建议他回去仔细润色一下(此前一直认为柯西把论文弄丢了或者私藏起来,最近的法国科学院档案研究才让柯西平反昭雪)。后来伽罗瓦又把论文交给了科学院秘书傅立叶(Joseph Fourier),但没过几天傅立叶就去世了,于是论文被搞丢了。1831年伽罗瓦第三次投稿,当时的审稿人是泊松,他认为伽罗瓦的论文很难理解,于是拒绝发表。
因为一些极端的政治行动,伽罗瓦被捕入狱。即使在监狱里,他也不断地发展自己的数学理论。他在狱中结识了一名医生的女儿,并很快坠入爱河;但好景不长,两人的感情很快破裂。出狱后的第二个月,伽罗瓦决定替自己心爱的女孩与女孩的一个政敌进行决斗,不幸中枪,第二天便在医院里死亡。伽罗瓦死前的最后一句话是对他的哥哥艾尔弗雷德(Alfred)说的:“不要哭,我需要足够的勇气在20岁死去。”
仿佛是预感到了自己的死亡,在决斗的前一夜,伽罗瓦通宵达旦奋笔疾书写下了自己所有的数学思想,并把它们和三篇论文手稿一同交给了他的好友谢瓦利埃(Chevalier)。在信的末尾,伽罗瓦留下遗嘱,希望谢瓦利埃能把论文手稿交给当时德国的两位大数学家雅可比(Carl Gustav Jacob Jacobi)和高斯(Carl Friedrich Gauss),让他们就这些数学定理公开发表意见,以便让更多的人意识到这个数学理论的重要性。
谢瓦利埃遵照伽罗瓦的遗愿,将论文手稿寄给了雅可比和高斯,不过都没有收到回音。直到 1843 年,数学家刘维尔(Joseph Liouville)才肯定了伽罗瓦的研究成果,并把它们发表在了他自己主办的《纯数学与应用数学杂志》(Journal de matématiques pures et appli-quées)上。人们把伽罗瓦的整套数学思想总结为了“伽罗瓦理论”。伽罗瓦用群论的方法对代数方程的解的结构做出了独到的分析,多项式方程的根、尺规作图的不可能性等一系列代数方程求解问题都可以用伽罗瓦理论得到一个简洁而完美的解答。伽罗瓦理论对今后代数学的发展起到了决定性的作用。
塞凯赖什夫妇
1933年,匈牙利数学家乔治·塞凯赖什(George Szekeres)还只有22岁。那时,他常常和朋友们在匈牙利的首都布达佩斯讨论数学。这群人里面还有同样生于匈牙利的数学怪才——保罗·埃尔德什(PAUL ERDŐS)大神。不过当时,埃尔德什只有20岁。
在一次数学聚会上,一位叫做爱丝特·克莱恩(Esther Klein)的美女同学提出了这么一个结论:在平面上随便画五个点(其中任意三点不共线),那么一定有四个点,它们构成一个凸四边形。塞凯赖什和埃尔德什等人想了好一会儿,没想到该怎么证明。于是,美女同学得意地宣布了她的证明:这五个点的凸包(覆盖整个点集的最小凸多边形)只可能是五边形、四边形和三角形。前两种情况都已经不用再讨论了,而对于第三种情况,把三角形内的两个点连成一条直线,则三角形的三个顶点中一定有两个顶点在这条直线的同一侧,这四个点便构成了一个凸四边形。众人大呼精彩。之后,埃尔德什和塞凯赖什仍然对这个问题念念不忘,于是尝试对其进行推广。最终,他们于1935年发表论文,成功地证明了一个更强的结论:对于任意一个正整数N ≥ 3,总存在一个正整数M,使得只要平面上的点有M个(并且任意三点不共线),那么一定能从中找到一个凸N边形。埃尔德什把这个问题命名为了“幸福结局问题”。

扒一扒最具含金量的数学奖

国际上最著名、最有影响的数学奖是菲尔兹奖和沃尔夫奖,除此之外,各国还另外设有自己的数学奖项。

菲尔兹奖 菲尔兹奖是由已故加拿大数学家菲尔兹提议设立的,得奖者须在该年元旦前未满四十岁。1924年他在多伦多市召开的国际数学家大会上,倡议将学术会议剩余经费作为基金,并自己捐赠了部分资金。这个倡议得到了与会的各国数学家的一致拥护。1932年菲尔兹不幸病故,同年,在苏黎世召开的国际数学家大会通过了菲尔兹奖的成立,并决定从1936年开始评定,奖项于每届国际数学家大会上颁发,菲尔兹奖的奖品为奖金1500美元和一枚金质奖章。
沃尔夫奖沃尔夫奖也是国际数学界的一个大奖。与菲尔兹奖不同的是,它是在1976年1月1日,由沃尔夫及其家族捐献成立的。 沃尔夫出生于德国,在第一次世界大战前移民古巴,他用了将近20年的时间成功地发现了如何从熔炉废渣中回收铁,并因此致富。沃尔夫家族总共捐款1千万美金,宗旨是希望“促进科学和艺术的发展以造福人类”。 沃尔夫奖每年颁发一次,奖给在化学、农业、医学、物理、数学和艺术领域的杰出成就者,每个领域奖金10万,可由个人获得,也可由几个人联合获得,它没有年龄的限制。沃尔夫奖的获奖者都是世界上作出卓越贡献的科学家,这些科学家的巨大声誉使得该奖广为人知,也可以说沃尔夫奖就是数学界的“诺贝尔奖”。

数学软件篇

四大数学软件:Matlab Maple Mathematica MathCAD

数学软件就是专门用来进行数学运算、数学规划、统计运算、工程运算、绘制数学图形或制作数学动画的软件。
数学软件基本分为三类:
1 、数值计算软件,如matlab(商业软件),scilab(开源自由软件)等等;
2 、统计软件,如SAS(商业软件)、minitab(商业软件)、SPSS(商业软件),R(开源自由软件)等;
3 、符号运算软件,这类软件不同于前两种,它不仅能计算出数值,还可以把符号表达的公式、方程进行推导和化简,可以求出微分积分的表达式,这类软件的代表有:MathType、maple(商业软件)、mathematica(商业软件)、maxima(开源自由软件)、mathcad(商业软件)、Microsoft Mathematics(商业软件,可以通过DreamSpark免费下载)等等。
著名的数学软件有:MathType、Matlab、Mathematica、Maple、MathCad、Scilab、SAGE、Microsoft Mathematics等。

智能的数学软件有:mathtool 实用数学软件。

著名的统计软件有:SAS、SPSS、Minitab等。

数学规划的软件有:Lingo、Lindo、matlab等。

绘图软件有:几何画板、Matlab等。

数学公式编辑软件有:Mathtype、LaTeX等。

工程计算软件有:Nastran、Ansys(有限元软件)等。

数学书籍篇

参考:杨劲根之复旦大学的国外优秀数学教材选评(说明:理论上来说,应该参考这个评选,毕竟权威,但考虑本文是偏向个人专注的领域,此文未曾参考复旦大学这个教材评选,放在这里只供更多人参考和引用)

放在此处:有句话必须说,数学教材这个东西,把时间放在选哪一本上是非常不明智的,比如大家都在学《高等数学》,高等数学国内最好的是同济版,但也有很多高校使用的不是这个版本,这重不重要?当然重要,各种版本的书水平相差极大。可是,对一个初次学习这门课程的人来说,我们要知道,这个差别是著作人之间的差别,等初学者能分辨的时候,说明你已经入门了,这个时候,随便拿一本相关书籍,不消几分钟,你就可以分辨孰好孰坏,而不是一开始就把时间放在选择上。话又说回来,一开始就选对一本经典好书,也会让人少走不少弯路。虽然很难有一个选择的标准,但公认的经典教材都是经过时间沉淀的,无论你现在如何,信,或者质疑,迟早,你都会承认其经典(极少数除外,也有例外)。另外,几乎所有经典书都是有毛病的,这是无法避免的,我似乎没怎么看过完美的数学教材,都有漏洞和缺陷,不是这里有问题,就是那里有问题,如此一来,教材的选择就更加讲究了,也许这一本教材的漏洞,在另一本就很完美,需要结合起来学习,更重要的是,如果能发现一本经典教材的很多缺陷,那说明此书已经离你越来越远。关于多本教材结合起来学习的问题,一开始这样做也是极其不明智的,只有等到对一本书有了较深的认识和学习后,才可能知道如何将多本参考书结合起来学习,不然翻再多的书,只会浪费更多的时间。初学时,选其中一本经典书,深入研究,直到有感觉了,问题也就随之消散了,那个时候,不需要任何人告诉你应该怎么做。不纠结于初学时的教材选择,拿一本先搞定基础(但至少不能错误满天飞),后面的事,真的,水到渠成。我最想说的是,输入和输出在学习中是两个维度的东西,评价一本书可能就一句话的事,但很少有人想过,数学家和数学学习者面对同一问题的思考方式完全不同。一个数学爱好者学完一本书后,似乎总能找到不少毛病,或者对作者崇拜有加,种种主观或者客观评价随之而来,但我一直以为,这一点也不重要。随便找个人,学完一本教材后就能给你说出很多他的感受,比如哪里有缺陷,哪里欠缺证明,哪里不够严谨,甚至概念有瑕疵,等等,但有没有想过,你都能发现的问题,数学家不知道(当然,限于每个人擅长的东西有限,世界上没有完美的东西,这种无法逾越的限制本就不应该拿来讨论,源于此,此文只探讨可以突破的限制)······为什么你不是数学家,他是数学家?为什么一个大学教授学了一生,让他写一个数学讲义,漏洞满满,错误百出,甚至作为一个初学者也不忍直视······知道一个理论,和表达一个精准的概念,看起来一样,也就只是看起来一样了······至于更多的,留白。他知道为什么不修订更改?数学这种抽象的东西,出版用于学习是很费事的事(统筹兼顾),写得太艰深太严谨无法传播,写得像一篇科普文,读者会觉得你就是《时间简史》的水平嘛,貌似读者都陷入了一个怪圈,就是学着学着就从数学家的著作中读出了优越感。我总想,倘若霍金写一本艰深晦涩的量子物理专业书,也许只有那几个垂直细分领域的行家能看懂了,然后读者就说“哇,好高深的样子,太厉害了”。优越感这个东西,可以肯定的说,幻想多于内容。数学教材无论怎么写,都无法照顾到所有人。一本中规中矩的数学教材,聪明的人看到的是不严谨和浅显,大众看到的是深入浅出;一本类似科普的数学教材,数学爱好者将其当成嘲讽对象——神马玩意嘛,大众可能觉得就应该这样写嘛——总比你写一堆天书我一句也看不懂强;一本经典的数学教材就是,极其聪明的人挑刺,数学爱好者力推,鉴于权威,大众也不管看不看得懂,反正是一本好书嘛;还有一种经典书籍,只写给那种在数学方面天赋异禀的人研究学习,作者才不会花心思管什么传播和市场,想怎么写,就怎么写(至高境界)。当然,还有很多人,无论你给他看什么数学问题,他都会感叹,怎么这么难,怎么这么抽象······在数学面前,人与人的差距如此之大,所以,重要的是找到适合自己的不同阶段的数学教材,爱因斯坦也说了:infinite, the universe and human stupidity, and I’m not sure about the universe.说白了,攻破了这个阶段的学习,就是进阶的研究,即使是一个垂直细分领域,离世界一流也不知还隔着多少个昼夜。数学这个东西,容不下杂念,我们都走在无知的路上,永无止境。

《自然哲学之数学原理》·牛顿 (Isaac Newton) , 王克迪译·北京大学出版社

《数学分析》第四版(上下册)·华东师范大学数学系·高等教育出版社

《线性代数》第六版·同济大学数学系·高等教育出版社

《复变函数》第四版·西安交通大学高等数学教研室·高等教育出版社

《概率论与数理统计》浙大第四版·高等教育出版社

《高等代数》第四版·北京大学数学系前代数小组·王萼芳·高等教育出版社

《陶哲轩实分析》·陶哲轩·人民邮电出版社

Visual Complex Analysis, by Tristan Needham

Game Theory, by Drew Fudenberg and Jean Tirole

Game Theory: Analysis of Conflict, by Roger B. Myerson

Game Theory, by Michael Maschler, Eilon Solan and Shmuel Zamir

A Course in Game Theory, by Martin Osborne and Ariel Rubinstein

《组合数学》英文第5版·Richard A.Brualdi·机械工业出版社

《微分几何》第四版·梅向明·高等教育出版社

A Course in Arithmetic, by Jean-Pierre Serre

Topology and geometry, by Glen E.Bredon

Introduction to Topological Manifolds, by John M.Lee

Topology from the Differentiable Viewpoint, by John Willard Milnor

Differential Topology, by Morris W. Hirsch

Algebraic Topology, by Allen Hatcher

Algebraic Topology, by Tammo tom Dieck

Algebraic Topology, Corr. 3rd Edition by Edwin H. Spanier

Three-Dimensional Geometry and Topology, Volume 1, William P. Thurston, Edited by Silvio Levy

Mathematical Physics ,2nd Edition by Sadri Hassani

Mathematica Methods for Physicists:A Comprehensive Guide, 7th Edition by GeorgeB.Arfken HansJ.Weber

Functional Analysis, 2nd Edition by Walter Rudin

A Course in Functional Analysis, by John B. Conway

Real and Functional Analysis, by Serge Lang

Real Analysis, Fourth Edition by H.L. Royden P.MP.M. Fitzpatrick

Real and complex analysis, by Walter Rudin

Functions of One Complex Variable, by John B.Conway

Algebra, by Serge Lang

Advanced Linear Algebra, by Steven Roman

Complex Analysis, by Lars V.Ahlfors

《简明复分析》·龚昇·中国科学技术大学出版社

Complex Analysis, by Elias M. Stein and Rami Shakarchi

《实变函数论》·周明强·北京大学出版社

《实变函数论》第五版·那汤松·高等教育出版社

《张量分析》第2版·黄克智·清华大学出版社

《近世代数》第三版·杨子胥·高等教育出版社

《解析几何》第四版·吕林根·高等教育出版社

《高等数学》·同济大学数学系·高等教育出版社

数学史+科普类读物+工具书+数学思维等

Science and Method, by Henri Poincare

《数学史通论》第二版·【美】Victor J· Katz, 李文林译·高等教育出版社

《数学史概论》·【美】伊夫斯, 李文林译·哈尔滨工业大学出版社

《古今数学思想》·【美】·克莱因·上海科学技术出版社

《数学天书中的证明》·艾格纳 (Martin Aigner) , 齐格勒 (Gunter M.Ziegler), 冯荣权& 宋春伟& 宗传明&李璐译·高等教育出版社

《费马大定理:一个困惑了世间智者358年的谜》·【英】西蒙•辛格·广西师范大学出版社

《算术探索》·【德】高斯·哈尔滨工业大学出版社

《数学指南:实用数学手册》·【德】埃伯哈德·蔡德勒·科学出版社

《数学的语言:化无形为可见》·【美】齐斯·德福林·广西师范大学出版社

《天才引导的历程:数学中的伟大定理》·【美】William Dunham·机械工业出版社

《完美的证明:一位天才和世纪数学的突破》·玛莎·葛森·北京理工大学出版社

《什么是数学:对思想和方法的基本研究》第三版·【美】R·柯朗H·罗宾, I·斯图尔特, 左平&张饴慈译·复旦大学出版社

《数学恩仇录:数学家的十大论战》·【美】哈尔·赫尔曼·复旦大学出版社

《数学大师:从芝诺到庞加莱》·埃里克•坦普尔•贝尔·上海科技教育出版社

《数学世纪:过去100年间30个重大问题》·【意】皮耶尔乔治•奥迪弗雷迪·上海科学技术出版社

后记

当晚状态随记:看看今天忙成什么样子?从中午12点开始,除去晚饭时间20分钟,中途没有任何休息,一直写,写到凌晨3点······寝室每晚22:40停电,停网,强迫症的我怎么可能受得了!开热点继续写这篇文章,笔记本电脑电池是硬伤,已经换了两台笔记本,希望熬过今晚,加油。

注:更新,历时25小时,中途睡了4个小时,21个小时高负荷状态,也就是在这样的逼迫下,终于,此文在我还没有挂掉的情况下完成了。——次日

注:更新,挺过25小时高负荷状态后,又用了三天的更新删改时间,此文总共大概花了51个小时的时间。有个真理还是没变:更改时间永远大于创作时间······不是这里有问题,就是那里有瑕疵,这样那样的问题,让修订变得异常艰辛和枯燥。你能想象反复阅读一篇自己的文章的痛苦性吗?你能想象为了一个标点符号不断地折磨自己吗?你能想象为了优化排版脑袋都炸开锅的景象吗?你能想象为了一篇文章的系统完整性翻遍专业书籍和互联网学习资料挑灯夜战的学习场景吗?你能想象一个理工科学生翻译英语时的后知后觉吗?······一遍一遍的在草稿纸上划出需要更新删改的内容,一遍一遍的朝着一篇自己能接受的数学文章奋进。悲痛欲绝,才诞生此文,此文,诚意满满——心中所爱,遂有,虽九死其犹未悔。——三日后

注:才疏学浅,必有疏漏之处,望读者监督,发现后私信楼主,定删改。后续若有需要,楼主会对有必要进行删改的内容进行不定时的删改,有什么新的相关研究,也会不定时的进行更新。

cosea wechat
Subscribe to WeChat Official Accounts